5.1 Definición de transformación lineal.

 

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝, 1. T (u+v)= Tu+Tv 2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales.

EJEMPLO:

Defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la gráfica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6.

Algunas transformaciones lineales:

Transformación lineal Nula.

En particular, si c =1:

Transformación lineal Identidad.

Sea

Entonces es transformación lineal.

Transformación determinada por la matriz A

(El producto matricial está definido si los vectores se

colocan como vectores columnas).

:, () 0 , W T V W T v =

---

v

---

V

T :V V, T (v) = cv,

---

v

---

V, con c

---

K, c fijo.

: , () , V V I V V I v = v

---

v

---

V

() m n A M ×  R

T: Rn Rm, T (v) = Av