Algebra lineal

  Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones: Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar ∝ , 1. T (u+v)= Tu+Tv 2. T( ∝ v)= ∝ Tv, donde ∝ es un escalar. Terminología: las transformaciones lineales con frecuencia se llaman operadores lineales. EJEMPLO: Defina T: R→R por Tx= 2x + 3. Entonces la gráfica de {(x, Tx): xϵ R} es una línea recta en el plano xy; pero T no es lineal porque T(x+ y) = 2(x +y) + 3 = 2x + 2y + 3y Tx + ty = (2x+3) + (2y+3) = 2x + 2y + 6. Algunas transformaciones lineales: Transformación lineal Nula. En particular, si c =1: Transformación lineal Identidad. Sea Entonces es transformación lineal. Transformación determinada por la matr...

Teorema  1 Sea  T :  V y   W  una transformaci ó n lineal. Entonces para todos los vectores  u ,  v ,  v 1 , v 2 , . . . ,  v n  en  V  y todos los escalares  a 1 ,  a 2 , . . . ,  a n : i.  T ( 0 )  =  0 ii.  T ( u  -  v )  =  T u  -  T v iii.  T ( a 1 v 1  + a 2 v 2  + . . . + a n v n )  = a 1 T v 1  + a 2 T v 2  + . . . + a n T v n Nota.  En la parte  i ) el  0  de la izquierda es el vector cero en  V ; mientras que el  0  de la derecha es el vector cero en  W.   Teorema 2 Sea  V  un espacio vectorial de dimensi ó n finita con base  B  =  { v 1 ,  v 2 , . . . ,  v n }. Sean  w 1 , w 2 , . . . ,  w n  vectores en  W . Suponga que  T 1  y  T 2  son dos transformaciones lineales de  V en  W  tales...

  Que es la representación matricial Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente, y sea T: V à W una transformación lineal, entonces existe una matriz A de orden m × n llamada matriz de transformación o representación matricial de T que satisface T(v) = Av para toda v en V. Una representación alternativa que, pese a su relativo desconocimiento, resulta muy útil es la matricial. La representación tradicional de un grafo consiste en un conjunto de puntos que representan los nodos unidos por unas líneas que unen aquellos nodos relacionados. No obstante, cuando el número de nodos se empieza a hacer elevado (por encima de unos 20 nodos y 20-30 enlaces para algunos autores), los problemas de oclusión entre enlaces e incluso entre los propios nodos comienzan a prevalecer y hacen muy difícil la comprensión y la interacción con la representación.

Transformaciones lineales Las transformaciones lineales forman un “hilo” que se entreteje en la tela de este texto. Su utilización mejora el sentido geométrico de lo escrito. Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y rotación:   1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.   2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grad...